Случайной величины. Критерий Колмогорова. Критерий согласия колмогорова-смирнова - способ оценки распределения совокупности Критические значения критерия колмогорова

По опыту хождения на защиты курсовых и дипломных работ по психологии подметил ряд распространённых и коварных ошибок в работах. Задумал черкнуть текст, предостерегающий от таких ошибок. Буду благодарен, если специалисты по статистике проверят.

Чтобы не вываливать сразу много, пока первые пять пунктов.

1. Если по критерию Колмогорова-Смирнова получилось p-значение больше 0,05 (или 0,1) – распределение нормально, можно делать параметрические методы.

Критерий Колмогорова-Смирнова оценивает значимость различий между формой двух распределений. При проверке нормальности (на самом деле, это лишь частный случай применения K-S теста) речь идёт об обнаружении значимых отличий между формой Вашего распределения и моделью нормального. То есть p-значение больше 0,05 (и т.п.) следует понимать как «Я не нашёл различий между Вашим распределением и нормальным (значимых различий на этом уровне)».

А не найти различия можно просто потому, что на руках слишком мало данных для обнаружения. Точно так же, как следователь не может найти преступника при малом количестве улик. Это ещё не значит, что дело чисто.

Так вот, Колмогоров-Смирнов – весьма требовательный к объёму данных критерий, который начинает адекватно работать на выборке в районе 80. Чем меньше выборка – тем труднее ему углядеть что-нибудь. На выборках в 20-40 человек, которые часто бывают в студенческих работах, критерий Колмогорова-Смирнова практически всегда будет заявлять «Я не смог увидеть никаких различий», каким бы перекошенным не являлось Ваше распределение.

Прикиньте теперь весь ужас ситуации, когда студент перво-наперво сделал Колмогорова-Смирнова на малом количестве респондентов, радостно заключил о нормальности и пошёл напропалую пользоваться параметрическими методами? Это ведь ставит под сомнение АБСОЛЮТНО ВСЁ, что он потом получил в работе.

При выборке в несколько десятков (но ощутимо меньше 80) следует говорить лишь об условной нормальности данных, которая оценивается через величины ассиметрии и эксцесса по сравнению с их стандартными ошибками. Если же выборка составляет эдак 20 – здесь просто нет и не может быть нормальности. Никогда. Сразу обращайтесь к непараметрической статистике.

2. Если общая выборка исследования дала нормальное распределение, то дальше можно сравнивать что угодно с чем угодно при помощи параметрических методов.

Необходимость нормального распределения для параметрических методов связана с их опорой на средние значения (и другие параметры распределения). Когда в какой-то группе нет нормального распределения – среднее может быть бессмысленным (среднее чисел 9, 10, 11 и 130 равно 40 – результат не похож ни на одно из усредняемых чисел). А когда нормальность есть – среднее заведомо получится осмысленным.

Соответственно, ПРИ СРАВНЕНИИ ДВУХ групп через средние значения, нужно иметь ДВА осмысленных средних значения. При сравнении трёх – три, и так далее. Нормальное распределение на общей выборке Вам нужно только в том случае, если Вы делаете какие-то выводы об этой общей выборке. А сколько потом групп Вы изучаете параметрическими методами – столько у Вас и должно быть (условно) нормальных распределений.

3. Если получилось нормальное распределение, можно делать дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ как раз-таки мало уязвим к ненормальным распределениям (кроме некоторых частных случаев). Проверка подвыборок на нормальность желательна, но от нарушений нормальности ничего страшного, скорее всего, не случится.

Однако дисперсионный анализ предъявляет ещё два особых требования к данным. Во-первых, не должно быть значимых различий во внутригрупповых дисперсиях (проверяются тестом Ливеня) – это таит серьёзную угрозу, если Ваши группы заметно отличаются по размеру. Во-вторых и в-главных, факторы для многофакторного дисперсионного анализа должны быть независимы друг от друга. Не нарушайте этого условия, не используйте в качестве факторов связанные показатели! Тогда адекватное решение задачи достигается только структурным моделированием, а не дисперсионным анализом.

Чтобы облегчить себе жизнь, для многофакторного дисперсионного анализа лучше всего сразу набирать равномерный комплекс. Равномерный комплекс – это когда на все возможные сочетания факторов приходится одинаковое количество наблюдений (типа: 16 молодых женщин-узбечек, 16 молодых женщин-татарок, 16 молодых женщин-русских, 16 молодых мужчин-узбеков, 16 молодых мужчин-татар, 16 молодых мужчин-русских, 16 пожилых женщин-узбечек, 16 пожилых женщин-татарок, 16 пожилых женщин-русских, 16 пожилых мужчин-узбеков, 16 пожилых мужчин-татар, 16 пожилых мужчин-русских).

5.Корреляционный анализ позволяет выявить взаимосвязь.

Слово «взаимосвязь» регулярно появляется в работах, организация которых не позволяет найти причин и следствий. Студенты обычно в курсе, что корреляция не означает «влияния», это слово они предусмотрительно и заменяют «взаимосвязью».

Задумайтесь уже просто над звучанием слова. Взаимная связь. То есть связь в обе стороны. Если А взаимосвязано с Б – значит, через А происходит какое-то воздействие на Б и одновременно через Б – какое-то воздействие на А. Как Вы думаете, если корреляция не способна подтвердить влияние даже в одну сторону, может ли она подтвердить влияние в обе стороны?

Корреляция показывает НЕ ВЗАИМО-, А ПРОСТО СВЯЗЬ. Вовсе не обязательно двустороннюю. Связь может быть строго односторонней: только X влияет на Y безо всякого обратного воздействия. Или наоборот: только Y влияет на X. Связь может быть действительно взаимной. Она вообще может быть только опосредованной каким-то третьим Z, когда X и Y непосредственно друг на друга не действуют. В учебнике Майерса рассказывается, что высота надгробий высоко коррелирует с количеством прожитых лет, поскольку чем дольше прожил человек, тем больше он разбогател и тем более роскошный памятник закажут его родственники (это касается западных стран, конечно). Корреляция показывает какую-то связь, сама по себе не различая случаев одностороннего влияния, двустороннего влияния, опосредованного влияния. И говорить о «взаимосвязи», имея на руках только корреляцию, не более обоснованно, чем о «влиянии».

На этапе описания статистики ошибка – чисто языковая и легко исправимая. Проблемы возникают, когда на стадии интерпретации человек полагает, что доказал именно взаимосвязь и начинает рассуждать о взаимных отношениях X и Y.

На практике кроме критерия χ 2 часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Задавая уровень значимости α, можно найти соответствующее критическое значение

В таблице приводятся критические значения , критерия Колмогорова для некоторых α.

Таблица 4.2.

Схема применения критерия Колмогорова

1.Строится эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x) .

2.Определяется статистика Колмогорова D – мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением и вычисляется величина

3. Если вычисленное значение λ больше критического , то нулевая гипотеза Н 0 о том, что случайная величина Х имеет заданный закон распределения, отвергается.

Если , то считают, что гипотеза Н 0 не противоречит опытным данным.

Пример. С помощью критерия Колмогорова на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу Н 0 о том, что случайная величина Х – выработка рабочих предприятия – имеет нормальный закон распределения.

Решение . 1. Построим эмпирическую и теоретическую функции распределения.

Эмпирическую функцию распределения строят по относительным накопленным частотам.

Теоретическую функцию распределения построим согласно формуле

где

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Таблица 4.3.

Критерий Колмогорова.

На практике кроме критерия часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения
и соответствующей теоретической функцией распределения

, (1)

называемой статистикой критерия Колмогорова .

Доказано, что какова бы ни была функция распределения
непрерывной случайной величины
, при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства
стремится к пределу

Задавая уровень значимости
, из соотношения

(3)

можно найти соответствующее критическое значение .

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

. (4)

Замечание

Можно отметить, что решение подобных задач можно было бы найти с помощью критерия . Потенциальное преимущества критерия Колмогорова в том, что он не требует группирования данных (с неизбежной потерей информации), а дает возможность рассматривать индивидуальные наблюдаемые значения. Этот критерий можно успешно применять для малых выборок. Считается, что его мощность, вообще говоря, выше, чем у критерия .

Пример Получена случайная выборка объема
. Построим вариационный ряд и эмпирическую функцию распределения:

Проверим гипотезу, что эти наблюдения образуют случайную выборку из распределения
с уровнем значимости
. Затем мы можем определить
графически либо аналитически, причем эти значения должны появиться в точке , соответствующей одной из наблюдаемых величин. С этой целью необходимо вычислить пары величин и (см. рис. 1) для каждого значения выборки.

Для вычисления вспомним: , где - функция стандартного нормального распределения. Результаты всех вычислений представим в виде таблицы:

Из таблицы результатов следует: . Из статистических таблиц получим
. Поскольку
, то принимается гипотеза
, т.е. можно считать, что данные подчиняются распределению .

Проверка гипотез об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения
и
.

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид
против конкурирующей
. Будем предполагать, что функции и непрерывны.

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова, но только в критерии Колмогорова сравнивается эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

,

где
и
– эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам c объемами и . отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического , т.е.
, и принимается в противном случае.

Критерий Колмогорова-Смирнова в программе STATISTICA в среде Windows

Пример основан на исследовании агрессивности четырехлетних мальчиков и девочек (Siegel, S. (1956) Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nded.) New York: McGraw-Hill). Данные содержатся в файле Aggressn.sta.

Двенадцать мальчиков и двенадцать девочек наблюдались в течение 15-минутной игры; агрессивность каждого ребенка оценивалась в баллах (в терминах частоты и степени проявления агрессивности) и суммировалась в один индекс агрессивности, который вычислялся для каждого ребенка.

Задание анализа . Выберите Nonparametrics из меню Statistics. Затем выберете Comparing two independent samples (groups). Появится диалоговое окно Comparing Two Groups . Нажмите на кнопку Variables . Здесь выберете переменную variable Aggressn в Dependent variable list и переменную Gender в Indep . (grouping ) variable . Коды для однозначного отнесения каждого наблюдения к определенному полу будут автоматически выбраны программой.

Как видно из таблицы результатов, различие между агрессивностью мальчиков и девочек в этом исследовании высокозначимо.

Данный критерий также позволяет оценить существенность различий между двумя выборками, в том числе возможно его применение для

Данный критерий также позволяет оценить существенность различий между двумя выборками, в том числе возможно его применение для сравнения эмпирического распределения с теоретическим.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных частот расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения. Нулевая гипотеза H 0 ={различия между двумя распределениями недостоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними)}.

Схематично алгоритм применения критерия Колмогорова-Смирнова можно представить следующим образом:

Проиллюстрируем использование критерия Колмогорова-Смирнова на примере.

При изучении творческой активности студентов были получены результаты для экспериментальных и контрольных групп (см. таблицу). Являются ли значимыми различия между контрольной и экспериментальной группами?

Вычисляем относительные частоты f , равные частному от деления частот на объём выборки, для двух имеющихся выборок.

В результате исходная таблица примет следующий вид:

Среди полученных модулей разностей относительных частот выбираем наибольший модуль, который обозначается d max . В рассматриваемом примере 0.18>0.1>0.08, поэтому d max =0.18.

Эмпирическое значение критерия λ эмп определяется с помощью формулы:

Чтобы сделать вывод о схожести по рассматриваемому критерию между двумя группами, сравним экспериментальное значение критерия с его критическим значением, определяемым по специальной таблице, исходя из уровня значимости . В качестве нулевой гипотезы примем утверждение о том, что сравниваемые группы незначительно отличаются друг от друга по уровню усвоения. При этом нулевую гипотезу следует принять в том случае, если наблюдаемое значение критерия не превосходит его критического значения.

Считая, что , по таблице определяем критическое значение критерия: λ кр (0,05)=1,36.

Таким образом, λ эмп =1,86>1,36= λ кр. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, и группы по рассмотренному признаку отличаются существенно.

Заметим, что объёмы рассматриваемых выборок должны быть достаточно большими: n 1 ≥50, n 2 ≥50.